Title: Fonctions vectorielles
Tags: chap:quatre sec:3

Q: Exemple classique (déterminant).
Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) quatre applications dérivables.
\[\begin{vmatrix}a & b \\
c & d\end{vmatrix}^\prime = [...].\]
A: \begin{vmatrix}a' & b \\
c' & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & b' \\
c & d'\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a' & b'\\
c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & b \\
c' & d'\end{vmatrix}

Q: Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie.
Comment dérive-t-on une fonction \(f : I \to E\) ?
A: On dérive composante par composante.

Q: Si \(f : I \to E\) s'écrit :
\[\forall x \in I,\quad f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i(x)\vec{e}_i,\]
alors \(f\) est dérivable si et seulement si [...],
et :\[\forall x \in I,\quad f'(x) = [...].\]
A: \(f_i\) est dérivable pour tout \(i\); \sum\limits_{i=1}^n f_i'(x)\vec{e}_i

Q: Soient \(f : I \to E\) dérivable et \(L : E \to F\) linéaire.
\[\left(L(f)\right)' = [...].\]
A: L(f')

Q: Soient \(f : I \to E_1\), \(g : I \to E_2\) dérivables,
et \(B : E_1\times E_2 \to F\) bilinéaire.
\[\left(B(f,g)\right)' = [...].\]
A: B(f',g)+B(f,g')

Q: Soit \((E,\langle \cdot,\cdot \rangle)\) euclidien.
\[\langle f,g\rangle' = [...].\]
A: \langle f',g\rangle+\langle f,g'\rangle

Q: Soit \((E,\langle \cdot,\cdot \rangle)\) euclidien.
Soit \(f : I \to E\) dérivable. Comment dérive-t-on :
\[\|f\| ?\]
A: \[\|f\| = \sqrt{\langle f,f\rangle}, \quad \textrm{(de la forme \(\sqrt{u}\))}\]
donc :
\[\|f\|' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{\langle f',f\rangle}{\|f\|}.\]